Question

已知x、y满足条件

x+2y-9≤0 x-4y+3≤0 x≥1

，若目标函数z=ax+y（a∈R）取得最大值时的最优解有无数个，则z=ax+y的最小值为（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  3

  2

• C、

  3

  4

• D、

  5

  4

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，得到目标函数的对应的直线和不等式对应的边界的直线的斜率相同，解方程即可得到结论．

解答： 解：不等式对应的平面区域如图：
由z=ax+y得y=-ax+z，
若a=0时，直线y=-ax+z=z，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件．
若-a＞0，则直线y=-ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时直线只在A处取得最大值，最优解只有一个，不满足条件，
若-a＜0，则直线y=-ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线y=-ax+z与AB平行，
直线AB为y=-

1

2

x+

9

2

，直线的斜率k=-

1

2

，
此时-a=-

1

2

，解得a=

1

2

．
综上满足条件的a=-

1

2

，即目标函数为y=-

1

2

x+z，
当直线y=-

1

2

x+z经过点C时，直线的截距最小，此时z有最小值，
由

x=1 x-4y+3=0

，解得

x=1 y=1

，即A（1，1），
此时z=

1

2

+1=

3

2

，
故选：B．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，利用结合数形结合先求出a是解决本题的根据．