Question

15．已知函数f（x）=ax²-4ax+2+3b（a＞0），若f（x）在区间[3，4]上有最大值5，最小值-4，
（1）求a，b的值
（2）若g（x）=f（x）+（m+1）x在[3，5]上是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求f（x）的对称轴为x=2，而a＞0，从而可判断f（x）在[3，4]上单调递增，得到关于a，b的方程组，这样即可求出a，b的值；
（2）先求出g（x）的解析式，求出对称轴，根据g（x）在[3，5]上单调，得到关于m的不等式，这样即可得出m的取值范围．

解答 解：（1）f（x）的对称轴为x=2，a＞0；
∴f（x）在[3，4]上单调递增；
又f（x）在[3，4]上的最大值为5，最小值为-4；
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（3）=9a-12a+2+3b=-4}\\{f（4）=16a-16a+2+3b=5}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=1}\end{array}\right.$；
（2）由（1）f（x）=3x²-12x+5，
∴g（x）=3x²+（m-11）x+5，
∴g（x）的对称轴为x=-$\frac{m-11}{6}$，
又g（x）在[3，5]上单调；
∴-$\frac{m-11}{6}$≤3，或-$\frac{m-11}{6}$≥5；
∴m≥-7，或m≤-19；
∴m的取值范围为（-∞，-19]∪[-7，+∞）．

点评 考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及根据单调性定义求函数在闭区间上的最值．