Question

10．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=axlnx-b（x²-1），其中a＞0，b∈R．．
（1）若a=1，b=0，求函数f（x）的极值；
（2）若不等式f（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，求$\frac{b}{a}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）令m=$\frac{b}{a}$，得到F（x）=xlnx-m（x²-1），问题转化为F（x）=xlnx-m（x²-1）≤0在[1，+∞）恒成立，求出函数的导数，通过讨论m的范围结合函数的单调性求出$\frac{b}{a}$的范围即可．

解答 解：（1）若a=1，b=0，则f（x）=xlnx，
故f′（x）=lnx+1，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）递增，
故f（x）_极小值=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，无极大值；
（2）令m=$\frac{b}{a}$，F（x）=xlnx-m（x²-1），
由题意得：F（x）=xlnx-m（x²-1）≤0在[1，+∞）恒成立，
则F′（x）=lnx+1-2mx，x∈[1，+∞），
1°m≤0时，F′（x）＞0，F（x）在[1，+∞）递增，
故F（x）≥F（1）=0，不符，舍去，
2°m＞0时，令H（x）=F′（x），则H′（x）=$\frac{1}{x}$-2m，
由H′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{2m}$，
①$\frac{1}{2m}$≤1即m≥$\frac{1}{2}$时，H′（x）≤0，H（x）在[1，+∞）递减，
故H（x）≤H（1）=1-2m≤0，即F′（x）≤0，
故F（x）在[1，+∞）递减，
故F（x）≤F（1）=0，符合，
②$\frac{1}{2m}$＞1即0＜m＜$\frac{1}{2}$时，
则x∈[1，$\frac{1}{2m}$）时，H′（x）＞0，H（x）在[1，$\frac{1}{2m}$）递增，
故H（x）≥H（1）=1-2m＞0，即F′（x）＞0，
结合1°，舍去，
综上，m≥$\frac{1}{2}$，
故$\frac{b}{a}$的范围是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．