Question

20．如图，已知PA⊥正方形ABCD所在平面，E、F分别是AB，PC的中点，二面角P-CD-A=45°．
（1）求证：EF∥面PAD．
（2）求证：面PCE⊥面PCD．

Answer 1

分析 （1）取PD中点为G，证明EFGA为平行四边形，由EF∥AG，证明EF∥面PAD．
（2）由线面垂直的判定定理证明AG⊥面PCD，从而得到EF⊥面PCD，面PCE⊥面PCD．

解答 证明：（1）取PD中点为G，连FG、AG，
∵F，G分别为中点，∴FG∥CD，且 FG=$\frac{1}{2}$CD．
∵AE∥CD，且 AE=$\frac{1}{2}$CD，
∴四边形EFGA为平行四边形，∴EF∥AG，
又EF?面PAD，AG?面PAD，∴EF∥面PAD．
（2）∵PA⊥面ABCD，
∴PA⊥AD，PA⊥CD，
∴Rt△PAD中，∠PDA=45°，∴PA=AD，AG⊥PD，
又CD⊥AD，CD⊥PA，且PA∩AD=A，
∴CD⊥面PAD，∴CD⊥AG，
又PD∩CD=D，∴AG⊥面PCD，
由（1）知EF∥AG∴，EF⊥面PCD，
又EF?面PCE，∴面PCE⊥面PCD．

点评 本题考查两个平面垂直的判定定理的应用以及证明线面平行的方法．