Question

16．已知y=f（x），x∈D（D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：
（1）函数f（x）在D上单调递增或单调递减；
（2）存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y=f（x），x∈D为闭函数．请回答以下问题：
（1）判断函数f（x）=3^x（x∈（0，+∞））是否为闭函数，并说明理由
（2）若y=k+$\sqrt{x}$（k＜0）是闭函数，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）判断函数y=3^x是（0，+∞）上的增函数，但不满足条件②，故不是闭函数；
（2）易知y=k+$\sqrt{x}$是（0，+∞）上的增函数，设函数符合条件②的区间为[a，b]，求出满足条件的k的取值范围．

解答 解：（1）函数y=3^x是（0，+∞）上的增函数，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{a{=3}^{a}}\\{b{=3}^{b}}\end{array}\right.$，
即方程x=3^x有两个不等的实数根，这是不成立的，从而该函数不是闭函数
（2）易知y=k+$\sqrt{x}$是（0，+∞）上的增函数，
设函数符合条件②的区间为[a，b]，则$\left\{\begin{array}{l}{a=k+\sqrt{a}}\\{b=k+\sqrt{b}}\end{array}\right.$；
故a，b是x=k+$\sqrt{x}$的两个不等根，
即方程组为：x²-（2k+1）x+k²=0两个不等非负实根；
设x₁，x₂为方程x²-（2k+1）x+k²=0的二根，
则△=（2k+1）²-4k²＞0①，x₁+x₂=2k+1＞0②，x₁x₂=k²≥0③，k＜0④，
由①②③④解得：-$\frac{1}{4}$＜k＜0，
∴k的取值范围是（-$\frac{1}{4}$，0）．

点评 本题考查新定义，考查导数知识的运用，解题的关键是理解新定义，并利用新定义求参数的值．