Question

11．已知函数f（x）=（x²-x）lnx-$\frac{3}{2}{x^2}$+2x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数g（x）=$\frac{（a+1）x}{lnx}$，对任意x∈（1，+∞）都有f（x）＞g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出f（x）的最小值，g（x）的最大值，要使f（x）＞g（x）对任意x∈（1，+∞）成立，
只需f（x）_最小值＞g（x）_最大值，从而求出a的范围．

解答 解：（1）f′（x）=（2x-1）lnx+（x²-x）•$\frac{1}{x}$-3x+2=（2x-1）（lnx-1），x∈（0，+∞），
令f′（x）＞0，解得：x＞e或x＜$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜e，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$），（e，+∞）递增，在（$\frac{1}{2}$，e）递减；
（2）由（1）得：f（x）在（1，e）递减，在（e，+∞）递增，
∴f（x）_最小值=f（e）=e-$\frac{1}{2}$e²，
∵g′（x）=$\frac{（a+1）（lnx-1）}{{（lnx）}^{2}}$，
∴a+1＜0时，g（x）在（1，e）递增，在（e，+∞）递减，
∴g（x）_最大值=g（e）=（a+1）e，
要使f（x）＞g（x）对任意x∈（1，+∞）成立，
必须f（x）_最小值＞g（x）_最大值，即f（e）＞g（e），
∴a＜-$\frac{1}{2}$e，
∴a+1≥0时，g（x）≥0，而f（x）_最小值=e-$\frac{1}{2}$e²＜0，
∴f（x）＞g（x）对?x∈（1，+∞）不可能成立，
综上，a＜-$\frac{1}{2}$e．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．