Question

2．设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0），x₁，x₂为函数y=f（x）-x的两个零点，且满足0＜x₁＜x₂＜$\frac{1}{a}$．当x∈（0，x₁）时，则（　　）

• A． f（x）＜x＜x₁
• B． x＜x₁＜f（x）
• C． x＜f（x）＜x₁
• D． x＜x₂＜f（x）

Answer 1

分析 由函数零点的定义化简函数y=f（x）-x，当x∈（0，x₁）时利用函数的解析式推出x＜f （x），然后作差
x₁-f（x）化简后，结合x的范围以及大小关系分析出f（x）＜x₁．

解答 解：∵x₁，x₂为函数y=f（x）-x的两个零点，
∴y=F（x）=a（x-x₁）（x-x₂），
当x∈（0，x₁）时，由x₁＜x₂得（x-x₁）（x-x₂）＞0，
又a＞0，则F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）＞0，
∴x＜f（x）．
∵x₁-f（x）=x₁-[x+F（x）]=x₁-x+a（x₁-x）（x-x₂）
=（x₁-x）[1+a（x-x₂）]
因为0＜x＜x₁＜x₂＜$\frac{1}{a}$，
所以x₁-x＞0，1+a（x-x₂）=1+ax-ax₂＞1-ax₂＞0．
得x₁-f（x）＞0，∴f（x）＜x₁，
故选：C．

点评 本题考查函数零点的应用，作差法比较大小，考查化简、变形能力，写出二次函数的零点式y=a（x-x₁）（x-x₂）是解决本题的关键．