Question

已知函数f（x）=cos²x-

3

sinxcosx+2sin²x-

1

2

（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：正弦函数的图象,y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角函数的倍角公式将函数进行化简即可求函数f（x）的最小正周期；
（2）利用三角函数的图象和性质进行求解即可．

解答： 解：（1）∵f(x)=

1+cos2x

2

-

3

2

sin2x+2×

1-cos2x

2

-

1

2

=1-

1

2

cos2x-

3

2

sin2x=1-sin(2x+

π

6

)．
∴其最小正周期为T=

2π

2

=π．
（2）由（Ⅰ）知f(x)=1-sin(2x+

π

6

)，
又∵x∈[0，  

π

2

]，  ∴2x+

π

6

∈[

π

6

，  

7π

6

]，
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，  1]．
∴函数f（x）的值域为[0，  

3

2

]．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数化成y=Asin（ωx+φ）形式再进行解答，是解决本题的关键．