Question

6．在平面直角坐标系中，圆O方程为（x-3）²+（y-4）²=4，过点A（1，0）做直线L与圆相交于P、Q两点，M为其中点，直线L与x+2y+2=0相交于点N，求|AM|•|AN|．

Answer 1

分析 设连接CA并延长交直线x+2y+2=0相交于G，可得CG⊥NG，由垂径定理得CM⊥PQ，可得△AGN∽△AMC，将比例线段转化为等积式，得|AM|•|AN|=|AC|•|AG|

解答 解：设连接CA并延长交直线x+3y+6=0相交于G，连接CM
可得AC的斜率为k_AC=2
∵直线x+2y+2=0的斜率为-$\frac{1}{2}$，
∴直线AC与直线x+2y+2=0垂直
又∵圆C中，M为弦PQ的中点
∴CM⊥PQ
因此△AGN∽△AMC，可得|AM|•|AN|=|AC|•|AG|
又∵|AC|=$\sqrt{（3-1）^{2}+（4-0）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，|AG|=$\frac{3}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，
∴|AC|•|AG|=2$\sqrt{5}$•$\frac{3}{\sqrt{5}}$=6．

点评 本题考查了直线与圆相交的性质，属于中档题，利用垂径定理得到三角形相似是解决本题的关键．