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    【题目】如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，是侧棱上的点．

    （1）若，证明：是的中点；

    （2）若，求二面角的余弦值．

    【答案】（1）证明见解析；（2）.

    【解析】

    （1）利用勾股定理得出，再由可得知为等边三角形，利用勾股定理得出，进而可证得结论成立；

    （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得二面角的余弦值．

    （1）由直三棱柱得平面，

    、平面，，，

    为等腰直角三角形，，且，

    由勾股定理得，

    ，是等边三角形，则，

    由勾股定理得，为的中点；

    （2）易知、、两两垂直，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

    设，则、、，，，

    设平面的法向量为，由，得，

    令，得，，，

    又平面的法向量为，，

    由图形可知，二面角为锐角，所以，二面角的余弦值为.

    练习册系列答案
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    （1）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；

    （2）若直线的极坐标方程为，与曲线、曲线在第一象限交于、，且，点的极坐标为，求的面积．

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    （1）求椭圆的标准方程；

    （2）若点M为的中点（O为坐标原点），过M且平行于OP的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数，使得；若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．

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    （1）求椭圆C的方程；

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    【题目】阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”.他们的调查结果如下：

    0项

    1项

    2项

    3项

    4项

    5项

    5项以上

    理科生（人）

    1

    10

    17

    14

    14

    10

    4

    文科生（人）

    0

    8

    10

    6

    3

    2

    1

    （1）完成如下列联表，并判断是否有的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关？

    比较了解

    不太了解

    合计

    理科生

    文科生

    合计

    （2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本.

    （i）求抽取的文科生和理科生的人数；

    （ii）从10人的样本中随机抽取3人，用表示这3人中文科生的人数，求的分布列和数学期望.

    参考数据：

    0.100

    0.050

    0.010

    0.001

    2.706

    3.841

    6.635

    10.828

    ，.

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    【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴的两个端点分别为、.短轴的两个端点分别为，.菱形的面积为，离心率.

    （1）求椭圆的标准方程；

    （2）设，经过点M作斜率不为0的直线交椭圆C于A、B两点，若，求直线的方程.

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    【题目】已知函数，.

    （1）讨论函数的单调性；

    （2）若存在直线，使得对任意的，，对任意的，，求的取值范围.

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    【题目】如图所示，多面体是由底面为的直四棱柱被截面所截而得到的，该直四棱柱的底面为菱形，其中，，，．

    (1)求的长；

    (2)求平面与底面所成锐二面角的余弦值．

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    （I）求椭圆C的方程和点T的坐标；

    （Ⅱ）O为坐标原点，与OT平行的直线l′与椭圆C交于不同的两点A，B，直线l′与直线l交于点P，试判断是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．

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