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    如图在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D、E是线段BC上的两点，且DE=
    1
    3
    BC，则
    AD
    •
    AE
    的取值范围是
     
    ．
    考点：平面向量数量积的运算
    专题：平面向量及应用
    分析：设
    AB
    =
    a
    ，
    AC
    =
    b
    ，
    BD
    =λ
    BC
    ，0≤λ≤
    2
    3
    ．利用平面向量基本定理表示出
    AD
    ，
    AE
    ．根据数量积的运算得到
    AD
    •
    AE
    =8λ2-
    16
    3
    λ+
    8
    3
    =8(λ-
    1
    3
    )2+
    16
    9
    ．利用二次函数的性质即可求出
    AD
    •
    AE
    的取值范围．
    解答： 解：设
    AB
    =
    a
    ，
    AC
    =
    b
    ，
    BD
    =λ
    BC
    ，0≤λ≤
    2
    3
    ．
    则
    AD
    =
    a
    +λ(
    b
    -
    a
    )    ．
    ∵DE=
    1
    3
    BC，
    ∴
    BE
    =(λ+
    1
    3
    )
    BC
    ．
    ∴
    AE
    =
    a
    +(λ+
    1
    3
    )(
    b
    -
    a
    )    ．
    ∴
    AD
    •
    AE
    =(
    a
    +λ(
    b
    -
    a
    ))•(
    a
    +(λ+
    1
    3
    )(
    b
    -
    a
    ))
    =((1-λ)
    a
    +λ
    b
    )((
    2
    3
    -λ)
    a
    +(λ+
    1
    3
    )
    b
    )
    ∵
    a
    ⊥
    b
    ，且|
    a
    |=|
    b
    |=2    ，
    ∴上式可化简为
    AD
    •
    AE
    =8λ2-
    16
    3
    λ+
    8
    3

    =8(λ-
    1
    3
    )2+
    16
    9
    ．
    ∴当λ=
    1
    3
    时    ，
    AD
    •
    AE
    取最小值为
    16
    9
    ．
    当λ=0或
    2
    3
    时，
    AD
    •
    AE
    取最大值为
    8
    3
    ．
    ∴
    AD
    •
    AE
    的取值范围是[
    16
    9
    ，
    8
    3
    ]    ．
    故答案为：[
    16
    9
    ，
    8
    3
    ]    ．
    点评：本题考查平面向量基本定理，向量的数量积以及二次函数的性质等知识的综合应用，属于中档题．
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    C、充要条件
    D、既不充分也不必要条件

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