Question

已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

	3	2	4
		0	4

（Ⅰ）求的标准方程；
（Ⅱ）请问是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交不同两点且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设抛物线，则有，据此验证个
点知（3，）、（4，4）在抛物线上，易求     ………………2分
设：，把点（2，0）（，）代入得：
    解得
∴方程为 ………………………………………………………………6分
（Ⅱ）法一：假设存在这样的直线过抛物线焦点，设直线的方程为两交点坐标为，
由消去，得…………………………8分
∴    ①
                          ②     ………………………10分
由，即，得
将①②代入（*）式，得， 解得 …………………12分
所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为：或…………………………………………………………………………………14分
法二：容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意；……………………………6分
当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为
由消掉，得 ， …………8分
于是 ，   ①

即  ② ………………………………10分
由，即，得
将①、②代入（*）式，得 ，解得；……12分
所以存在直线满足条件，且的方程为：或．………14分

解析