Question

17．已知向量$\overrightarrow a$=（cosα，sinα），$\overrightarrow b$=（cosβ，sinβ），$\overrightarrow c$=（{1，0）．
（1）求向量$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$的长度的最大值；
（2）设α=$\frac{π}{4}$，$\frac{17π}{12}$＜β＜$\frac{7π}{4}$，且$\overrightarrow a$⊥（${\overrightarrow b$-$\frac{{3\sqrt{2}}}{5}$$\overrightarrow c}$），求$\frac{{sin2β-2{{sin}^2}β}}{1+tanβ}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知向量$\overline{b}$，$\overline{c}$，求出$\overline{b}+\overline{c}$，进一步求出$|\overline{b}+\overline{c}{|}^{2}$，再由cosβ的范围求出$0≤|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}{|}^{2}≤4$，即0≤$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|≤2$，则答案可求；
（2）由$\overrightarrow a⊥（{\overrightarrow b-\frac{{3\sqrt{2}}}{5}\overrightarrow c}）$求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{3\sqrt{2}}{5}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$，再由两角和与差的三角函数化简计算得答案．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a=（{cosα，sinα}），\overrightarrow b=（{cosβ，sinβ}），\overrightarrow c=（{-1，0}）$，
∴$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=（cosβ-1，sinβ）$，
∴$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}{|}^{2}=（cosβ-1）^{2}+si{n}^{2}β=2（1-cosβ）$，
∵-1≤cosβ≤1，
∴$0≤|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}{|}^{2}≤4$，即0≤$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|≤2$．
∴当cosβ=-1时，向量$\overrightarrow b+\overrightarrow c$的长度取得最大值2；
（2）由$\overrightarrow a⊥（{\overrightarrow b-\frac{{3\sqrt{2}}}{5}\overrightarrow c}）$，得$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{b}-\frac{3\sqrt{2}}{5}\overrightarrow{c}）=0$，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{3\sqrt{2}}{5}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$．
∴cosαcosβ+sinαsinβ=-$\frac{3\sqrt{2}}{5}cosα$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}cosβ+\frac{\sqrt{2}}{2}sinβ=-\frac{3\sqrt{2}}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{3}{5}$．
∴cos（$β-\frac{π}{4}$）=$-\frac{3}{5}$．
∵$\frac{sin2β-2si{n}^{2}β}{1+tanβ}=sin2β•\frac{1-tanβ}{1+tanβ}=sin2β•tan（\frac{π}{4}-β）$，
又∵$\frac{17π}{12}＜β＜\frac{7π}{4}$，∴$π+\frac{π}{6}＜β-\frac{π}{4}＜\frac{3π}{2}$，
结合cos（$β-\frac{π}{4}$）=-$\frac{3}{5}$，可得tan（$β-\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{3}$．
而sin2β=cos（$\frac{π}{2}-2β$）=cos2（$\frac{π}{4}-β$）=$2co{s}^{2}（\frac{π}{4}-β）-1=-\frac{7}{25}$，
∴$\frac{sin2β-2si{n}^{2}β}{1+tanβ}=\frac{28}{75}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查平面向量的数量积运算，训练了两角和与差的三角函数的应用，是中档题．