Question

20．（1）已知双曲线的渐近线为3x+4y=0且经过点（8，3$\sqrt{3}$），求双曲线的方程；
（2）若（1）中的双曲线被点A（8，3）平分的弦为MN，求MN所在的直线方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：设双曲线方程为9x²-16y²=λ，将点（8，3$\sqrt{3}$）代入，即可求得λ的值，即可求得双曲线的方程；
（2）设直线MN的方程为y-3=k（x-8），代入双曲线方程，由韦达定理可知x₁+x₂=$\frac{32k（3-8k）}{9-16{k}^{2}}$，由中点坐标公式可知：$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=8，即可求得k的值，即可求得直线MN的方程．

解答 解：（1）渐近线方程为3x+4y=0，
设双曲线方程为9x²-16y²=λ，
将（8，3$\sqrt{3}$）代入9x²-16y²=λ，解得：λ=144，
双曲线的方程；$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）由题意可知：设直线MN的方程为y-3=k（x-8），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3-8k}\\{\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，整理得：（9-16k²）x²-32k（3-8k）x-16（3-8k）²=144，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{32k（3-8k）}{9-16{k}^{2}}$，
弦为MN的中点A（8，3），
由中点坐标公式可知：$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=8，
则$\frac{32k（3-8k）}{9-16{k}^{2}}$=16，解得：k=$\frac{3}{2}$，
∴MN所在的直线方程3x-2y-18=0．

点评 本题考查双曲线方程的求法及简单几何性质，看着直线与双曲线的位置关系，韦达定理及中点坐标公式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．