Question

6．已知函数$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$，x∈R，以下结论：
①f（x）的最小正周期是π；
②f（x）的图象关于点$（-\frac{π}{6}，0）$对称；
③f（x）的图象关于直线$x=\frac{π}{6}$对称；
④f（x）在区间$（0，\frac{π}{3}）$上是增函数；
其中正确命题的个数是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 运用正弦型函数的周期公式，即可判断①；由正弦函数的对称中心的特点，计算即可判断②；
由正弦函数的对称轴的特点，计算即可判断③；由正弦函数的增区间，解不等式即可判断④．

解答 解：函数$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$，
①f（x）的最小正周期是T=$\frac{2π}{2}$=π，故①对；
②由f（-$\frac{π}{6}$）=2sin（-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=0，
可得f（x）的图象关于点$（-\frac{π}{6}，0）$对称，故②对；
③由f（$\frac{π}{6}$）=2sin（$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，不为最值，
f（x）的图象不关于直线$x=\frac{π}{6}$对称，故③错；
④由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
则f（x）在区间（0，$\frac{π}{12}$）递增，在（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）递减，故④错．
故选：C．

点评 本题考查三角函数的图象和性质，主要是周期和对称性、单调性的判断，考查运算能力，属于中档题．