Question

【题目】已知△ABC的三个内角A，B，C，满足sinC= ．
（1）判断△ABC的形状；
（2）设三边a，b，c成等差数列且S△ABC=6cm2 ， 求△ABC三边的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：法1：sinC= =tan = = ，

∵sinC≠0，∴cosC=0，

∵0°＜C＜180°，∴C=90°，

∴△ABC为直角三角形；

法2：由已知等式变形得：cosA+cosB= ，

∴利用正弦、余弦定理化简得： + = ，

整理得：（a+b）（c2﹣a2﹣b2）=0，

∴a2+b2=c2，

∴△ABC为直角三角形

（2）解：由已知得：a2+b2=c2①，a+c=2b②， ab=6③，

由②得：c=2b﹣a，代入①得：a2+b2=（2b﹣a）2=a2﹣4ab+4b2，即3b2=4ab，

∴3b=4a，即a= b，代入③得：b2=16，

∴b=4cm，a=3cm，c=5cm

【解析】（1）法1：已知等式右边分子分母利用和差化积公式变形，约分后利用同角三角函数间的基本关系化简，再利用诱导公式变形，得到cosC=0，求出C为直角，即可得到三角形为直角三角形；
法2：利用正弦、余弦定理化简已知等式，整理后利用勾股定理的逆定理即可判断出三角形为直角三角形；（2）根据勾股定理列出关系式，再由等差数列的性质列出关系式，最后再利用三角形面积公式列出关系式，联立即可求出a，b，c的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:，以及对余弦定理的定义的理解，了解余弦定理:;;．