Question

若函数f（x）=2^2x+2^xa+a+1．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若f（x）＞-3对任意的x∈[0，2]恒成立，求a的取值范围；
（3）讨论f（x）的零点的个数．

Answer 1

考点：指数型复合函数的性质及应用,函数恒成立问题,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令t=2^x＞0，可得f（x）=g（t）=t²+at+a+1=(t+

a

2

)2+a+1-

a2

4

，再利用二次函数的性质分类讨论求得g（t）在（0，+∞）上的值域．
（2）由题意可得f（x）在[0，2]上的最小值大于-3，即g（t）在[1，4]上的最小值大于-3．再利用二次函数的性质分类讨论求得g（t）在（0，+∞）上的最小值，即可求得a的范围．
（3）f（x）的零点的个数，即函数g（t）=t²+at+a+1在（0，+∞）上的零点个数．再利用二次函数的性质分类讨论，得出结论．

解答： 解：（1）令t=2^x＞0，可得f（x）=g（t）=t²+at+a+1=(t+

a

2

)2+a+1-

a2

4

，
当a≥0时，-

a

2

≤0，二次函数g（t）的图象的对称轴方程为t=-

a

2

，函数g（t）在（0，+∞）上单调递增，g（t）＞g（0）=a+1，
故函数的值域为（a+1，+∞）．
当a＜0时，二次函数g（t）的图象的对称轴方程为t=-

a

2

＞0，函数g（t）的最小值为g（-

a

2

）=a+1-

a2

4

，
故函数的值域为[a+1-

a2

4

，+∞）．
（2）若f（x）＞-3对任意的x∈[0，2]恒成立，则f（x）在[0，2]上的最小值大于-3，
即g（t）在[1，4]上的最小值大于-3．
①当a≥0时，由于g（t）在[1，4]上单调递增，故g（t）的最小值为g（1）=2a+2，由2a+2＞-3，求得a＞-

5

2

，
综合可得当a≥0．
②当-2≤a＜0，二次函数g（t）的图象的对称轴方程为t=-

a

2

（0，1]，g（t）在[1，4]上单调递增，
函数g（t）的最小值为g（1）=2a+2，由2+2a＞-3，求得a＞-

5

2

，
综合可得-2≤a＜0．
③当-8＜a＜-2时，二次函数g（t）的图象的对称轴方程为t=-

a

2

∈（1，4），g（t）的最小值为g（-

a

2

）=a+1-

a2

4

，
由a+1-

a2

4

＞-3，求得2-2

5

＜a＜2+2

5

，综合可得2-2

5

＜a＜-2．
④当a≤-8，二次函数g（t）的图象的对称轴方程为t=-

a

2

≥4，g（t）在[1，4]上单调递减，
g（t）的最小值为g（4）=5a+17，由5a+17＞-3，求得a＞-4，不满足前提条件a≤-8，故舍去．
综合①②③④可得，a≥2-2

5

．
（3）f（x）的零点的个数，即函数g（t）=t²+at+a+1在（0，+∞）上的零点个数．
①当△=a²-4（a+1）＜0时，即2-2

2

＜a＜2+2

2

时，函数g（t）在（0，+∞）上的零点个数为0．
②当a=2-2

2

或a=2+2

2

 时，△=0，再根据二次函数g（t）的图象的对称轴方程为t=-

a

2

，
可得当a=2-2

2

时，t=-

a

2

＞0，函数g（t）在（0，+∞）上有唯一零点；当a=2+2

2

 时，t=-

a

2

＜0，函数g（t）在（0，+∞）上没有零点．
③当a＜2-2

2

时，△＞0，由t=-

a

2

＞0，g（0）=a+1＞0，可得函数g（t）在（0，+∞）上有2个零点；
当a＞2+2

2

 时，△＞0，由t=-

a

2

＜0，g（0）=a+1＞0，可得函数g（t）在（0，+∞）上没有零点．
综上可得，a＞2-2

2

时，函数g（t）在（0，+∞）上的零点个数为0；
当a=2-2

2

时，函数g（t）在（0，+∞）上有唯一零点；
当a＜2-2

2

时，函数g（t）在（0，+∞）上有2个零点．

点评：本题主要考查指数函数的值域，二次函数的性质，函数的恒成立问题，函数零点的个数判断，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于难题．