Question

18．如图是我国2010年至2016年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2018年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：参考数据：$\sum_{i=1}^7{y_i}$=9.32，$\sum_{i=1}^7{{t_i}{y_i}}$=40.17，$\sqrt{\sum_{i=1}^7{{{（{y_i}-\bar y）}^2}}}$=0.55，$\sqrt{7}$≈2.646．
参考公式：r=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{t_i}-\bar t）（{y_i}-\bar y）}}}{{\sqrt{\sum_{i=1}^n{{{（{t_i}-\bar t）}^2}\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-\bar y）}^2}}}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{t_i}{y_i}-n\overline t•\overline y}}}{{\sqrt{\sum_{i=1}^n{{{（{t_i}-\bar t）}^2}\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-\bar y）}^2}}}}}}$
回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{a}$+$\widehat{b}$t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}-n\overline{t}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据，计算相关系数，根据相关系数的值得出结论；
（Ⅱ）计算回归系数，写出y关于t的回归方程；将2018年对应的t值代入回归方程，计算对应的函数值即可．

解答 解：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得$\overline t=4$，
$\sum_{i=1}^7{{{（{t_i}-\overline t）}^2}}=28$，
$\sqrt{\sum_{i=1}^7{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}}=0.55$，
$\sum_{i=1}^7{（{t_i}-\overline t）（{y_i}-\overline y）}=\sum_{i=1}^7{{t_i}{y_i}-\overline t\sum_{i=1}^7{y_i}}=40.17-4×9.32=2.89$，
所以相关系数为$r≈\frac{2.89}{0.55×2×2.646}≈0.99$；…（4分）
因为y与t的相关系数近似为0.99，
说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系；…（6分）
（Ⅱ）由$\overline y=\frac{9.32}{7}≈1.331$及（Ⅰ）得，
$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^7{（{t_i}-\overline t）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^7{{{（{t_i}-\overline t）}^2}}}}=\frac{2.89}{28}≈0.103$，
$\hat a=\overline y-\hat b\overline t≈1.331-0.103×4≈0.92$；
所以，y关于t的回归方程为：$\hat y=0.92+0.10t$；…（10分）
将2018年对应的t=9代入回归方程得：
$\hat y=0.92+0.10×9=1.82$；
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨…（12分）

点评 本题考查了相关系数与回归直线方程的求法和应用问题，是中档题．