Question

13．以下四个命题：
①函数f（x）=sin（x-$\frac{π}{2}$）在[0，π]上是减函数；
②函数f（x）=$\frac{4|x|}{{x}^{2}+1}$图象关于y轴对称；
③点A（1，1）、B（2，7）在直线3x-y=0的两侧；
④数列{a_n}为递减的等差数列，a₁+a₅=0，设数列{a_n}的前n项和为S_n，则当n=4时，S_n取得最大值；
其中正确命题的序号是②③（把所有正确命题的序号都写上）．

Answer 1

分析 利用诱导公式化简，借助于余弦函数的单调性判断①；
利用定义证明函数为偶函数判断②；
把点的坐标代入直线方程，利用乘积的符号判断③；
由等差数列的性质得到a₃=0判断④．

解答 解：①f（x）=sin（x-$\frac{π}{2}$）=-cosx，在[0，π]上是增函数，①错误；
②函数f（x）=$\frac{4|x|}{{x}^{2}+1}$的定义域为R，且f（-x）=$\frac{4|-x|}{（-x）^{2}+1}=\frac{4|x|}{{x}^{2}+1}=f（x）$，∴函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，②正确；
③∵（3×1-1）（3×2-7）=-2＜0，∴点A（1，1）、B（2，7）在直线3x-y=0的两侧，③正确；
④数列{a_n}为递减的等差数列，由a₁+a₅=0，得a₃=0，∴当n=2或3时，S_n取得最大值，④错误．
故答案为：②③．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数的性质，训练了二元一次不等式所表示平面区域的判定方法，考查数列最值的求法，是基础题．