Question

14．已知数列{a_n}，a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+2}}$，则a₁₀的值为（　　）

• A． 5
• B． $\frac{1}{5}$
• C． $\frac{11}{2}$
• D． $\frac{2}{11}$

Answer 1

分析 利用数列的递推公式推导出数列{a_n}的前四项，从而猜想a_n=$\frac{2}{n+1}$．并利用利用数学归纳法进行证明得到${a}_{n}=\frac{2}{n+1}$，由此能求出a₁₀．

解答 解：∵数列{a_n}，a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+2}}$，
∴${a}_{2}=\frac{2×1}{1+3}$=$\frac{2}{3}$，
${a}_{3}=\frac{2×\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}+2}$=$\frac{2}{4}$，
${a}_{4}=\frac{2×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+2}$=$\frac{2}{5}$，
由此猜想a_n=$\frac{2}{n+1}$．
下面利用数学归纳法进行证明：
①${a}_{1}=\frac{2}{1+1}=1$，成立；
②假设a_k=$\frac{2}{k+1}$，
则${a}_{k+1}=\frac{2{a}_{k}}{{a}_{k}+2}$=$\frac{\frac{4}{k+1}}{\frac{2}{k+1}+2}$=$\frac{2}{（k+1）+1}$，成立，
∴${a}_{n}=\frac{2}{n+1}$，
∴a₁₀=$\frac{2}{11}$．
故选：D．

点评 本题考查数列的第10项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推公式、数学归纳法的合理运用．