在平面直角坐标系xoy中.曲线C1过点P(a.1).其参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=a+\sqrt{2}t\;\;\;}\\{y=1+\sqrt{2}t\;\;\;\;\;}\end{array}}\right.$．以O为极点.x轴非负半轴为极轴.建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0．(Ⅰ)求曲线C1的普� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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6．在平面直角坐标系xoy中，曲线C₁过点P（a，1），其参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=a+\sqrt{2}t\;\;\;}\\{y=1+\sqrt{2}t\;\;\;\;\;}\end{array}}\right.$（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρcos²θ+4cosθ-ρ=0．
（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知曲线C₁与曲线C₂交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．

分析（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t₁|，|PB|=2|t₂|，利用|PA|=2|PB|，分类讨论，求实数a的值．

解答解：（Ⅰ）曲线C₁参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=a+\sqrt{2}t\;\;\;}\\{y=1+\sqrt{2}t\;\;\;\;\;}\end{array}}\right.$，∴其普通方程x-y-a+1=0，-------（2分）
由曲线C₂的极坐标方程为ρcos²θ+4cosθ-ρ=0，∴ρ²cos²θ+4ρcosθ-ρ²=0
∴x²+4x-x²-y²=0，即曲线C₂的直角坐标方程y²=4x．-------（5分）
（Ⅱ）设A、B两点所对应参数分别为t₁，t₂，联解$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ x=a+\sqrt{2}t\\ y=1+\sqrt{2}t\end{array}\right.$得$2{t^2}-2\sqrt{2}t+1-4a=0$
要有两个不同的交点，则$△={（2\sqrt{2}）^2}-4×2（1-4a）＞0$，即a＞0，由韦达定理有$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=\sqrt{2}\;\\{t_1}•{t_2}=\frac{1-4a}{2}\end{array}\right.$
根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t₁|，|PB|=2|t₂|，
又由|PA|=2|PB|可得2|t₁|=2×2|t₂|，即t₁=2t₂或t₁=-2t₂-------（7分）
∴当t₁=2t₂时，有t₁+t₂=3t₂=$\sqrt{2}$，t₁t₂=2t₂²=$\frac{1-4a}{2}$，∴a=$\frac{1}{36}$＞0，符合题意．-------（8分）
当t₁=-2t₂时，有t₁+t₂=-t₂=$\sqrt{2}$，t₁t₂=-2t₂²=$\frac{1-4a}{2}$，∴a=$\frac{9}{4}$＞0，符合题意．-------（9分）
综上所述，实数a的值为$a=\frac{1}{36}$或$\frac{9}{4}$．-------（10分）

点评本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，考查参数的几何意义，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．

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