Question

1．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2-x）=f（x），且当x∈[1，2]时，f（x）=lnx-x+1，若函数g（x）=f（x）+mx有7个零点，则实数m的取值范围为（　　）

• A． $（\frac{1-ln2}{8}，\frac{1-ln2}{6}）∪（\frac{ln2-1}{6}，\frac{ln2-1}{8}）$
• B． $（\frac{ln2-1}{6}，\frac{ln2-1}{8}）$
• C． $（\frac{1-ln2}{8}，\frac{1-ln2}{6}）$
• D． $（\frac{1-ln2}{8}，\frac{ln2-1}{6}）$

Answer 1

分析 确定函数为偶函数则其周期为T=2，函数在x∈[1，2]为减函数，作出函数的图象，得出当x＜0时，要使符合题意则$m∈（\frac{ln2-1}{6}，\frac{ln2-1}{8}）$，根据偶函数的对称性，当x＞0时，要使符合题意则$m∈（\frac{1-ln2}{8}，\frac{1-ln2}{6}）$．即可得出结论．

解答 解：因为函数f（2-x）=f（x）可得图象关于直线x=1对称，且函数为偶函数则其周期为T=2，
又因为$f'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$，当x∈[1，2]时有f'（x）≤0，则函数在x∈[1，2]为减函数，
作出其函数图象如图所示：
    
其中${k_{OA}}=\frac{ln2-1}{6}，{k_{OB}}=\frac{ln2-1}{8}$，当x＜0时，要使符合题意则$m∈（\frac{ln2-1}{6}，\frac{ln2-1}{8}）$
根据偶函数的对称性，当x＞0时，要使符合题意则$m∈（\frac{1-ln2}{8}，\frac{1-ln2}{6}）$．
综上所述，实数m的取值范围为$（\frac{1-ln2}{8}，\frac{1-ln2}{6}）∪（\frac{ln2-1}{6}，\frac{ln2-1}{8}）$，
故选A．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性，考查数形结合的数学思想，难度大．