Question

函数f（x）=

3

2

sin2x-

1+cox2x

2

-

1

2

（1）若x属于[

π

4

，

π

2

]，求f（x）的最值及对应的x值；
（2）若不等式[f（x）-m]²＜1在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二倍角的正弦,二倍角的余弦

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用辅助角公式化简，结合x属于[

π

4

，

π

2

]，利用正弦函数的性质，即可求f（x）的最值及对应的x值；
（2）[f（x）-m]²＜1等价于m-1＜f（x）＜m+1，利用（1）的结论建立不等式组，即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=

3

2

sin2x-

1+cox2x

2

-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-1，
∵x属于[

π

4

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴2x-

π

6

=

5π

6

，即x=

π

2

时，函数取得最小值-

1

2

；2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，函数取得最大值0；
（2）[f（x）-m]²＜1等价于m-1＜f（x）＜m+1，
∵不等式[f（x）-m]²＜1在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，
∴

m-1＜- 1 2 m+1＞0

，
∴-1＜m＜

1

2

．

点评：本题考查辅助角公式的运用，考查三角函数的最值，考查恒成立问题，正确求出函数的最值是关键．