Question

当x₂＞x₁＞0时，求证：(1+x1)x2＞(1+x2)x1．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：令h（x）=

ln(1+x)

x

，x＞0，利用导数的符号求得h（x）是（0，+∞）上的减函数，可得当x₂＞x₁＞0时，h（x₂）＜h（x₁），化简可得要征得结论．

解答： 证明：令h（x）=

ln(1+x)

x

，x＞0，则h′（x）=

x 1+x -ln(1+x)

x

．
令p（x）=

x

x+1

-ln（1+x），
则p′（x）=

-x

(1+x)2

＜0，故p（x）在[0，+∞）上是减函数．
再根据p（0）=0，可得当x＞0时，p（x）＜0，故h′（x）＜0，
∴函数h（x）在（0，+∞）是减函数．
当x₂＞x₁＞0时，h（x₂）＜h（x₁），
即

ln(1+x2)

x2

＜

ln(1+x1)

x1

，
即 x₁ln（1+x₂）＜x₂ln（1+x₁），
即 ln(1+x2)x1＜ln(1+x1)x2，
即(1+x1)x2＞(1+x2)x1．

点评：本小题主要考查函数的导数与函数的单调性间的关系，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力，属于中档题．