Question

已知函数F（x）=sin（ωx+

π

6

），其中ω＞0．若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于

π

2

，求：
（1）函数f（x）的解析式；
（2）求最小正实数m，使得函数F（x）图象向左平移m个单位后对应的函数是奇函数．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数的周期性及其求法

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）由两对称轴间的距离求得半周期，进一步得到周期，由周期公式求得ω，则函数解析式可求；
（2）把函数F（x）图象向左平移m个单位后，由x=0时对应的函数值为0求得m的所有取值，则最小正实数m可求．

解答： 解：（1）∵函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于

π

2

，
∴

T

2

=

π

2

，T=π．
则ω=

2π

T

=

2π

π

=2．
∴F（x）=sin（2x+

π

6

）；
（2）∵m＞0，
∴函数F（x）图象向左平移m个单位后对应的函数解析式为y=sin[2（x+m）+

π

6

]=sin[2x+（2m+

π

6

）]．
要使该函数为奇函数，则sin（2m+

π

6

）=0，2m+

π

6

=kπ，k∈Z．
∴m=

kπ

2

-

π

12

，k∈Z．
当k=1时，m取最小正数

5π

12

．

点评：本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的周期及其求法，考查了三角函数的图象平移问题，训练了函数奇偶性的性质，定义在实数集上的奇函数，有f（0）=0，是中档题．