Question

12．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=4，CD=3，AB=$\frac{25}{3}$，将△ACD折起，使二面角D′-AC-B为直二面角，得到如图2所示的空间几何体D′-ABC．

（1）求证：AD′⊥平面BCD′；
（2）求直线AD′与平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）在直角梯形中，过C作CE⊥AB于E，根据勾股定理证明BC⊥AC，然后根据线面垂直的判定定理进行证明即可．
（2）过D'作D'O⊥AC，则∠D'AO是直线AD′与平面ABC所成的角，根据三角形的边角关系进行求解即可．

解答 解：（1）证明：在直角梯形中，过C作CE⊥AB于E
则CE=AD=4．AE=CD=3，
则BE=AB-AE=$\frac{25}{3}$-3=$\frac{16}{3}$，AC=5
BC=$\sqrt{C{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{16+（\frac{16}{3}）^{2}}$=$\frac{20}{3}$，
∵AC²+BC²=25+（$\frac{20}{3}$）²=$\frac{625}{9}$=（$\frac{25}{3}$）²=BC²，
∴△ACB是直角三角形，则AC⊥BC，
∵二面角D′-AC-B为直二面角，
∴BC⊥平面D′AC，
∵AD′?平面D′AC，
∴BC⊥AD′，
∵AD′⊥CD′，BC∩CD′=C，
∴AD′⊥平面BCD′
（2）∵二面角D′-AC-B为直二面角
∴过D'作D'O⊥AC，
则D'O⊥平面ABC，
则∠D'AO是直线AD′与平面ABC所成的角，
则sin∠D'AO=$\frac{D′O}{AD'}=\frac{D'C}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
即直线AD′与平面ABC所成角的正弦值是$\frac{3}{5}$．

点评 本题主要考查线面垂直的判定以及线面角的求解，根据相应的判定定理以及线面角的定义进行转化求解即可．