Question

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ-

π

6

）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

（1）当x∈[

π

6

，

5π

6

]时，求f（x）的取值范围；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，在将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）x∈[0，4π]的单调递减区间．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由f（x）为偶函数求出φ，由周期性求得ω，可得函数的解析式，从而求得f（x）的取值范围；
（2）由条件利用函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）=2cos（

1

2

x-

π

3

），再根据余弦函数的单调性求得g（x）的单调递减区间．

解答： 解：（1）由函数f（x）=2sin（ωx+φ-

π

6

）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，可得 φ-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，即φ=kπ+

2π

3

∴φ=

2π

3

．
由函数y=f（x）的图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

，可得

2π

ω

=2×

π

2

=π，∴ω=2，f（x）=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x，
∵x∈[

π

6

，

5π

6

]，有2x∈[

π

3

，

5π

3

]
∴-1≤cos2x≤

1

2

．
∴-2≤2cos2x≤1
∴f（x）的取值范围是[-2，1]．
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，可得函数y=2cos2（x-

π

6

）=2cos（2x-

π

3

）的图象；
再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2cos（

1

2

x-

π

3

）的图象．
令2kπ≤

x

2

-

π

3

≤2kπ+π，k∈z，求得4kπ+

2π

3

≤x≤4kπ+

8π

3

，故函数g（x）的减区间为[4kπ+

2π

3

，4kπ+

8π

3

]，k∈z．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的奇偶性和单调性，属于基本知识的考查．