Question

设函数f（x）=ln²x-2alnx+a²-1．
（1）若f（x）在区间[1，e]上恰有一个零点，求实数a的取值范围．
（2）若f（x）＞a²对任意x∈（e，e²）恒成立，求实数a的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,变化的快慢与变化率,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）令t=lnx，由x∈[1，e]得t∈[0，1]；从而化f（x）在区间[1，e]上恰有一个零点为y=t²-2at+a²-1在区间[0，1]上恰有一个零点；从而可得a∈[-1，0]或a∈[1，2]；
（2）f（x）＞a²对任意x∈（e，e²）恒成立可化为t²-2at-1＞0对任意t∈（1，2）恒成立；a＜

t2-1

2t

对任意t∈（1，2）恒成立；化为最值问题．

解答： 解：（1）令t=lnx，∵x∈[1，e]；
∴t∈[0，1]；
由f（x）在区间[1，e]上恰有一个零点化为
y=t²-2at+a²-1在区间[0，1]上恰有一个零点；
y=t²-2at+a²-1=（t-（a+1））（t-（a-1））；
故a+1∈[0，1]，或a-1∈[0，1]，
解得a∈[-1，0]或a∈[1，2]；
（2）f（x）＞a²对任意x∈（e，e²）恒成立可化为
t²-2at-1＞0对任意t∈（1，2）恒成立；
a＜

t2-1

2t

对任意t∈（1，2）恒成立；
令F（t）=

t2-1

2t

，F′（t）=

2t2+2

(2t)2

＞0；
故F（t）=

t2-1

2t

在（1，2）上是增函数，
则a≤F（1）=0；
故实数a的最大值为0．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．