Question

设数列{an}满足a₁=2，a_n+1=a_n+

1

an

（n=1，2…），求证：a_n＞

2n+1

对一切正整数n都成立．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：利用数学归纳法证明即可．

解答： 证明：①n=1时，a₁=2＞

3

成立；
②设n=k时成立，即a_k＞

2k+1

，设a_k²=（2k+1）+m
则a_k+1=

ak2+1

ak

=

2(k+1)+1+(m-1)

2(k+1)+1+(m-2)

＞

2(k+1)+1

2(k+1)+1

=

2(k+1)+1

即n=k+1时，结论成立，
由①②可得a_n＞

2n+1

对一切正整数n都成立．

点评：本题考查数列递推式，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．