Question

（1）设函数f（x）=-cos²x-4tsin

x

2

cos

x

2

+4t³+t²-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，将f（x）的最小值记为g（t）．
①求g（t）的表达式；
②讨论g（t）在区间（-1，1）内的单调性并求极值．
（2）已知f （x）=ax-x³
①若f（x）在区间（0，

2

2

）内是增函数，求实数a的取值范围；
②若f（x）的极小值为2，求实数a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数解析式的求解及常用方法

专题：导数的综合应用

分析：（1）①f（x）=sin²x-2tsin2x+4t³+t²-3t+3=（sinx-t）²+4t³-3t+3，由于|t|≤1，利用二次函数的单调性即可得出g（t）；
②g′（t）=12t²-3=12(t+

1

2

)(t-

1

2

)．t∈（-1，1）．分别令g′（t）＞0，令g′（t）＜0，解得即可得出，进而判断出极值．
（2）①f′（x）=a-3x²，由于f （x）=ax-x³在区间（0，

2

2

）内是增函数，可得f′（x）≥0在区间（0，

2

2

）内恒成立（不恒等于0），即a-3x²≥0，通过分离参数即可得出．
②f′（x）=a-3x²，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．

解答： 解：（1）①f（x）=sin²x-2tsin2x+4t³+t²-3t+3
=（sinx-t）²+4t³-3t+3
∵|t|≤1，
∴当sinx=t时，f（x）取得最小值，∴g（t）=4t³-3t+3．
②g′（t）=12t²-3=12(t+

1

2

)(t-

1

2

)．t∈（-1，1）．
令g′（t）＞0，解得-1＜t＜-

1

2

，或

1

2

＜t＜1；令g′（t）＜0，解得-

1

2

＜t＜

1

2

．
∴函数g（t）的单调递增区间为(-1，-

1

2

)，(

1

2

，1)；单调递减为(-

1

2

，

1

2

)．
∴当x=-

1

2

时，g（t）取得极大值，g(-

1

2

)=4；
当x=

1

2

时，g（t）取得极小值，g(

1

2

)=2．
（2）①f′（x）=a-3x²，
∴f （x）=ax-x³在区间（0，

2

2

）内是增函数，
∴f′（x）≥0在区间（0，

2

2

）内恒成立（不恒等于0），
∴a-3x²≥0，
即a≥（3x²）_max，x∈（0，

2

2

）．
∴a≥

3

2

．
∴实数a的取值范围是[

3

2

，+∞)．
②f′（x）=a-3x²，
当a≤0时，f′（x）≤0，函数f（x）单调递减，无极值；
当a＞0时，f′（x）=-3(x+

a 3

)(x-

a 3

)，
令f′（x）＞0，解得x＞

a 3

或x＜-

a 3

，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得-

a 3

＜x＜

a 3

，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=

a 3

时，f（x）取得极小值为2，
∴a

a 3

-(

a 3

)3=2，
化为a

a 3

=3，
解得a=3．
∴a=3．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论的思想方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．