Question

有同学通过研究曲线C的方程x 

1

3

+y

1

3

=1，得到如下结论，你认为正确的结论是（　　）
①x，y的取值范围是R；②曲线C是轴对称图形；③曲线C与两坐标轴围成的图形面积

1

2

．

• A、①②
• B、①③
• C、②③
• D、①②③

Answer 1

考点：曲线与方程

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：把方程变形可得x，y的取值范围；在方程中x，y互换可判对称性；由定积分求面积判断③．

解答： 解：∵曲线C的方程x 

1

3

+y

1

3

=1，
∴y

1

3

=1-x

1

3

，则y=(1-x

1

3

)3=1-3x

1

3

+3x

2

3

-x，
x的范围为R，对应的y的范围为R，命题①正确；
在x 

1

3

+y

1

3

=1中，取y=x，x=y方程不变，
∴曲线C的图象关于直线y=x对称，命题②正确；
∵x=0时y=1，y=0时x=1，
∴曲线C的图象与y轴交于（0，1），与x轴交于（1，0），
则曲线C与两坐标轴围成的图形面积：
S=

∫

1 0

(1-3x

1

3

+3x

2

3

-x)dx=(x-

9

4

x

4

3

+

9

5

x

5

3

-

1

2

x2)

|

1 0

=

1

20

，命题③错误．
故选：A．

点评：本题考查了曲线与方程，考查了函数的对称性，训练了利用定积分求曲边梯形的面积，是中档题．