Question

设定义在R上的函数f（x）满足：f（tanx）=

1

cos2x

，则f（2）+f（3）+…+f（2015）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2015

）=

 

．

Answer 1

考点：三角函数的化简求值,函数的值,同角三角函数基本关系的运用

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：由已知中f（tanx）=

1

cos2x

，根据万能公式，可得f（x）的解析式，进而可得f（x）+f（ 

1

x

）=0，进而可得答案．

解答： 解：∵f（tanx）=

1

cos2x

=

1+tan2x

1-tan2x

，
∴f（x）=

1+x2

1-x2

，f（

1

x

）=

1+( 1 x )2

1-( 1 x )2

=

1+x2

x2-1

=-

1+x2

1-x2

∴f（x）+f（

1

x

）=0
∴f（2）+f（3）+…+f（2015）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2015

）=0
故答案为：0

点评：本题考查的知识点是三角函数的恒等变换及化简求值，其中根据已知求出f（x）=

1+x2

1-x2

，以及f（x）+f（

1

x

）=0是解答的关键．