Question

2．已知f（x）=log₂（2^x+a）的定义域为（0，+∞）．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=log₂（2^x+1），且关于x的方程f（x）=m+g（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域，根据条件建立方程进行求解即可，
（2）利用参数分离法进行分类，然后利用复合函数的单调性之间的关系，构造函数求出函数的值域即可得到结论．

解答 解：（1）由2^x+a＞0得2^x＞-a，即x＞log₂（-a），即函数的定义域为（log₂（-a），+∞）．
∵函数的定义域为（0，+∞），
∴log₂（-a）=0，则-a=1，则a=-1．
（2）当a=-1时，f（x）=log₂（2^x-1），
由f（x）=m+g（x）得m=f（x）-g（x）=log₂（2^x-1）-log₂（2^x+1）
=log₂（$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$）=log₂（1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$），
令h（x）=log₂（1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$），
则h（x）在[1，2]上为增函数，
当x=1时，h（x）取得最小值h（1）=log₂$\frac{1}{3}$，
当x=2时，h（x）取得最大值h（2）=log₂$\frac{3}{5}$，
则h（x）∈[log₂$\frac{1}{3}$，log₂$\frac{3}{5}$]，
则要使方程f（x）=m+g（x）在[1，2]上有解，
则m∈[log₂$\frac{1}{3}$，log₂$\frac{3}{5}$]．

点评 本题主要考查对数函数的图象和性质，根据函数的定义域求出a的值，以及利用复合函数单调性之间的关系进行转化是解决本题的关键．