Question

12．已知椭圆C：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，点$P（\sqrt{2}，2）$在椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆上的焦点F作两条相互垂直的弦AC，BD，求|AC|+|BD|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，点$P（\sqrt{2}，2）$在椭圆上，列出方程组得a²=8，b²=4．由此能求出椭圆方程．
（2）当直线AC，BD中一条直线斜率不存在时，|AC|+|BD|=$6\sqrt{2}$．当直线AC，BD斜率均存在时，设直线AC的方程为：y=kx+2，联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{y^2}{8}+\frac{x^2}{4}=1\\ y=kx+2\end{array}\right.$，得（k²+2）x²+4kx-4=0，由韦达定理得|AC|=$\frac{{4\sqrt{2}（{{k^2}+1}）}}{{{k^2}+2}}$，用$-\frac{1}{k}$代换上式中的k可得$|{BD}|=\frac{{4\sqrt{2}（{{k^2}+1}）}}{{2{k^2}+1}}$，由此能求出|AC|+|BD|的取值范围．

解答 解：（1）因为$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以a²=2b²．
又$P（\sqrt{2}，2）$在椭圆上，所以$\frac{4}{a^2}+\frac{2}{b^2}=1$．
联立上述方程，解得a²=8，b²=4．
所以椭圆方程为$\frac{y^2}{8}+\frac{x^2}{4}=1$．
（2）当直线AC，BD中一条直线斜率不存在时，|AC|+|BD|=$6\sqrt{2}$．
当直线AC，BD斜率均存在时，
不妨设直线AC的斜率为k，显然k≠0，则l_AC：y=kx+2，
联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{y^2}{8}+\frac{x^2}{4}=1\\ y=kx+2\end{array}\right.$，得（k²+2）x²+4kx-4=0
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=\frac{-4k}{{{k^2}+2}}$，${x_1}{x_2}=\frac{-4}{{{k^2}+2}}$，
$|{AC}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|$=$\frac{{4\sqrt{2}（{{k^2}+1}）}}{{{k^2}+2}}$，
由于直线BD的斜率为$-\frac{1}{k}$，用$-\frac{1}{k}$代换上式中的k可得$|{BD}|=\frac{{4\sqrt{2}（{{k^2}+1}）}}{{2{k^2}+1}}$
于是|AC|+|BD|=$\frac{{4\sqrt{2}（{{k^2}+1}）}}{{{k^2}+2}}+$$\frac{{4\sqrt{2}（{{k^2}+1}）}}{{2{k^2}+1}}$=$\frac{{12\sqrt{2}{{（{{k^2}+1}）}^2}}}{{（{{k^2}+2}）（{2{k^2}+1}）}}$．
令t=k²+1＞1，则|AC|+|BD|=$\frac{{12\sqrt{2}{t^2}}}{{（2t-1）（{t+1}）}}=\frac{{12\sqrt{2}}}{{2+\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}}}$，
因为$2+\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}$=$-{（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）^2}+\frac{9}{4}$$∈（{2，\frac{9}{4}}]$，
所以|AC|+|BD|=$\frac{{12\sqrt{2}}}{{2+\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}}}$$∈[\frac{{16\sqrt{2}}}{3}，6\sqrt{2}）$．
综上所述，|AC|+|BD|的取值范围为$[{\frac{{16\sqrt{2}}}{3}，6\sqrt{2}}]$．

点评 本题考查椭圆方程、两线段和的取值范围、椭圆性质、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．