Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．
（1）若sin（A+

π

6

）=

1

3

，求sin（2A-

π

6

）的值；
（2）若△ABC的外接圆半径为1，

a

cosA

=

4cosB

b

．
①求C的值；
②求

ab-2

a+b-2

的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理的应用,二倍角的正弦

专题：解三角形

分析：（1）首先利用倍角公式求出cos（2A+

π

3

），然后利用2A-

π

6

=(2A+

π

3

)-

π

2

求sin（2A-

π

6

）的值；
（2）利用正弦定理得到a=2sinA，b=2sinB，由①得到sinB=cosA，将所求表示为关于一个角的代数式求最值．

解答： 解：（1）因为sin（A+

π

6

）=

1

3

，
所以cos（2A+

π

3

）=1-2sin²（A+

π

6

）=1-

2

9

=

7

9

，
所以sin（2A-

π

6

）=-cos[（2A-

π

6

）+

π

2

]=-cos（2A+

π

3

）=-

7

9

；
（2）因为△ABC的外接圆半径为1，所以a=2sinA，b=2sinB，由

a

cosA

=

4cosB

b

得sinAsinB=cosAcosB，
所以cos（A+B）=0，所以A+B=

π

2

，所以
①C=

π

2

；
②由①得

ab-2

a+b-2

=

4sinAsinB-2

2sinA+2sinB-2

=

2sinAcosA-1

sinA+cosA-1

=

(sinA+cosA)2-2

sinA+cosA-1

=

2sin2(A+ π 4 )-2

2 sin(A+ π 4 )-1

，
设

2

sin（A+

π

4

）=t，因为A∈（0，

π

2

），则t∈（1，

2

]所以

ab-2

a+b-2

=

t2-2

t-1

∈[0，∞）；

点评：本题考查了运用诱导公式求三角函数值以及利用正弦定理解三角形、求三角函数范围，属于中档题．