Question

13．已知P（a，1）是角β终边上的一点，且$cosβ=-\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，
（1）求a，sinβ，tanβ的值；   
（2）求$\frac{{sin（\frac{π}{2}+β）cos（-π-β）}}{{sin（\frac{11π}{2}-β）cos（\frac{9π}{2}+β）}}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用任意角的三角函数定义结合已知求得a值，进一步求出sinβ，tanβ的值；
（2）利用诱导公式化简得答案．

解答 解：（1）由任意角的三角函数定义，可得cosβ=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+1}}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
解得：a=-3，则β为第二象限角．
∴sinβ=$\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=$\sqrt{1-（-\frac{3\sqrt{10}}{10}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
tanβ=$\frac{sinβ}{cosβ}=\frac{\frac{\sqrt{10}}{10}}{-\frac{3\sqrt{10}}{10}}=-\frac{1}{3}$；
（2）$\frac{{sin（\frac{π}{2}+β）cos（-π-β）}}{{sin（\frac{11π}{2}-β）cos（\frac{9π}{2}+β）}}$=$\frac{cosβ（-cosβ）}{（-cosβ）（-sinβ）}$=$-\frac{1}{tanβ}=-\frac{1}{-\frac{1}{3}}=3$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础的计算题．