Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为长方形，AD＝2AB，点E、F分别是线段PD、PC的中点．

(1)证明：EF∥平面PAB；

(2)在线段AD上是否存在一点O，使得BO⊥平面PAC，若存在，请指出点O的位置，并证明BO⊥平面PAC；若不存在，请说明理由．

Answer 1

[解析]　(1)证明：∵EF∥CD，CD∥AB，∴EF∥AB，

又∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，

∴EF∥平面PAB.

(2)在线段AD上存在一点O，使得BO⊥平面PAC，此时点O为线段AD的四等分点，且AO＝AD，

∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BO，

又∵长方形ABCD中，AD＝2AB，

∴△ABO△DAC，∴∠ABO＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC＝90°，∴AC⊥BO，

又∵PA∩AC＝A，

∴BO⊥平面PAC.