Question

15．设函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$-a1nx．
（1）当a=1时．求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程：
（2）若函数f（x）在定义域上为增函数，求实数a的取值范围：
（3）在（2）的条件下，若函数h（x）=x-lnx-$\frac{1}{e}$，?x₁，x₂∈[1，e]使得f（x₁）≥h（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求切线的方程；
（2）由题意可得f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，即为1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{x}$≥0，即有a≤x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的最小值，求出最小值，即可得到所求范围；
（3）运用导数求出f（x），h（x）的单调性，由题意可得可得f（x）_max≥h（x）_min，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）f（x）=x-$\frac{1}{x}$-1nx的导数为f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=1+1-1=1，
切点为（1，0），
则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1；
（2）由题意可得f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
即为1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{x}$≥0，即有a≤x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的最小值，
由x+$\frac{1}{x}$≥2，当且仅当x=1时，取得等号．
即有a≤2；
（3）由（2）可得a≤2时，f（x）在[1，e]递增；
函数h（x）=x-lnx-$\frac{1}{e}$的导数为h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
即有h′（x）≥0在[1，e]成立，即有h（x）在[1，e]递增，
由题意?x₁，x₂∈[1，e]使得f（x₁）≥h（x₂）成立，
可得f（x）_max≥h（x）_min，
即为f（e）≥h（1），即有e-$\frac{1}{e}$-a≥1-$\frac{1}{e}$，
解得a≤e-1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查不等式恒成立问题的解法，以及存在性问题的解法，考查运算能力，属于中档题．