Question

6．△ABC是边长为1的正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，点A关于平面PBC的对称点为A′，则异面直线A′C与AB所成角等于（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 设D是BC的中点，A A’与面PBC交于O，推导出A’A=A’B=CA=CB=1，从而得到AB⊥平面A′CE，由此能求出A’C与AB所成角．

解答 解：设D是BC的中点，A A’与面PBC交于O，
∵△ABC是边长为1的正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，点A关于平面PBC的对称点为A′，
∴O必在PD上，AA′⊥平面PBC，
∴∠AOD=∠PAD=90°，∠ODA=∠PDA，
∴△ADO∽△PDA，∴$\frac{AO}{AD}=\frac{PA}{PD}$，
∵AD=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，PA=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴PD=$\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{3}{8}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，AO=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3\sqrt{2}}{4}}$=$\frac{1}{2}$，AA′=1，
∵又A与A’关于平面PBC对称，
∴A′B=AB=1，
∵A’A=A’B=CA=CB=1，
取AB中点E，连结A′E，CE，
则A′E⊥AB，CE⊥AE，又A′E∩CE=E，
∴AB⊥平面A′CE，∴A’C⊥AB，
∴A’C与AB所成角为$\frac{π}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．