Question

6．已知双曲线 C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{3}$，A B 为左、右顶点，点 P 为双曲线 C 在第一象限的任意一点，点 O 为坐标原点，若直线PA，PB，PO 的斜率分别为k₁，k₂，k₃，记m=k₁k₂k₃，则 m 的取值范围为（0，2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 由已知条件推导出b=$\sqrt{2}$a，k₁k₂=$\frac{y}{x+a}•\frac{y}{x-a}$=2，0＜k₃＜$\sqrt{2}$，由此能求出m=k₁k₂k₃的取值范围．

解答 解：∵双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，∴b=$\sqrt{2}$a，
设P（x，y），∵点P为双曲线C在第一象限的任意一点，∴$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∵A，B为双曲线C的左右顶点，点O为坐标原点，PA，PB，PO的斜率为k₁，k₂，k₃，
∴k₁k₂=$\frac{y}{x+a}•\frac{y}{x-a}$=2，
又∵双曲线渐近线为y=$±\sqrt{2}$x，∴0＜k₃＜$\sqrt{2}$，
∴0＜m=k₁k₂k₃＜2$\sqrt{2}$，
故答案为：（0，2$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查斜率乘积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质．