Question

7．已知点A（0，2），抛物线C：y²=mx（m＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：2，则△OFN的面积为（　　）

• A． $8\sqrt{3}$
• B． $4\sqrt{3}$
• C． $\frac{8\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 作出M在准线上的射影K，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得m，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．

解答 解：抛物线C：y²=mx的焦点F（$\frac{m}{4}$，0）
设M在准线上的射影为K，
由抛物线的定义知|MF|=|MK|，
由|FM|：|MN|=1：2，可得|KM|：|MN|=1：2，
则|KN|：|KM|=$\sqrt{3}$：1，k_FN=-$\sqrt{3}$
k_FN=$\frac{0-2}{\frac{m}{4}-0}$=-$\frac{8}{m}$，
即有$\frac{8}{m}$=$\sqrt{3}$，求得m=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
则三角形OFN的面积为$\frac{1}{2}$•y_N•|OF|=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故选D．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质．抛物线中涉及焦半径的问题常利用抛物线的定义转化为点到准线的距离来解决．