Question

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F，平面PCD与平面PAB交于直线l．
（1）求证：l∥EF；
（2）求PB与平面ABCD所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{21}}{21}$，求二面角P-AE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）在平面PCD中，过E作EF∥CD，交PD于F，连结AF，F即为平面ABE与棱PD的交点，在平面PCD中，过P作PG$\underset{∥}{=}$DC，连结CG、BG，BG是平面PCD与平面PAB的交线l，由此利用平行公理能证明l∥EF．
（2）取AD中点O，连结OP，以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD中，过O作AB的平行线为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AE-B的余弦值．

解答 证明：（1）在平面PCD中，过E作EF∥CD，交PD于F，连结AF，
则F即为平面ABE与棱PD的交点，
在平面PCD中，过P作PG$\underset{∥}{=}$DC，连结CG、BG，
则BG是平面PCD与平面PAB的交线l．
∵EF∥CD，l∥CD，
∴l∥EF．
解：（2）取AD中点O，连结OP，
∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，
以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD中，过O作AB的平行线为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，
B（1，4，0），设P（0，0，t），（t＞0），则$\overrightarrow{BP}$=（-1，-4，t），
∵PB与平面ABCD所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{21}}{21}$，平面ABCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
∴|cos＜$\overrightarrow{BP}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BP}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{t}{\sqrt{17+{t}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{21}$，解得t=2，
则P（0，0，2），C（-1，4，0），E（-$\frac{1}{2}，2，1$），A（1，0，0），B（1，4，0），
$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{3}{2}$，2，1），$\overrightarrow{AP}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{AB}$=（0，4，0），
设平面PAE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=-x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-\frac{3}{2}x+2y+z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，1），
设平面ABE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=4b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=-\frac{3}{2}a+2b+c=0}\end{array}\right.$，取a=2，得$\overrightarrow{m}$=（2，0，3），
设二面角P-AE-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4+3}{\sqrt{6}•\sqrt{13}}$=$\frac{7\sqrt{78}}{78}$．
∴二面角P-AE-B的余弦值为$\frac{7\sqrt{78}}{78}$．

点评 本题考查线线的证明，考查二面角的余弦值，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．