Question

如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点M（3，1）平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），且交椭圆于A，B两不同点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（ I）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由题可得

a=3b 9 a2 + 1 b2 =1

，由此能求出椭圆的方程．
（ II）直线l方程为：y=

1

3

x+m．联立

x2 18 + y2 2 =1 y= 1 3 x+m

，得2x²+6mx+9m²-18=0，由此能求出m的取值范围．
（ III）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁+k₂=0，就能得到直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．

解答： （ I）解：设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
由题可得

a=3b 9 a2 + 1 b2 =1

，解得a²=18，b²=2．
所求椭圆的方程为

x2

18

+

y2

2

=1．…（4分）
（ II）解：∵直线l∥OM且在y轴上的截距为m，
∴直线l方程为：y=

1

3

x+m．
联立

x2 18 + y2 2 =1 y= 1 3 x+m

消y化简得2x²+6mx+9m²-18=0
∵直线l交椭圆于A，B两点，
∴△=（6m）²-4×2×（9m²-18）＞0
解得-2＜m＜2又因为m≠0．
∴m的取值范围为-2＜m＜2且m≠0．…（8分）
（ III）证明：设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，
则问题只需证明k₁+k₂=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则k1=

y1-1

x1-3

，k2=

y2-1

x2-3

．
由（2）x1+x2=-3m，x1•x2=

9m2-18

2

又y1=

1

3

x1+m，y2=

1

3

x2+m，
代入k1+k2=

(y1-1)(x2-3)+(y2-1)(x1-3)

(x1-3)(x2-3)

，整理得：

k1+k2= y1x2+x1y2-(x1+x2)-3(y1+y2)+6 (x1-3)(x2-3)  = 2 3 x1x2+(m-2)(x1+x2)-6m+6 (x1-3)(x2-3)   = 2 3 × 9m2-18 2 +(m-1)(-3m)-3m+6 (x1-3)(x2-3)   = 3m2-6-3m2+3m-3m+6 (x1-3)(x2-3)   =0

∴k₁+k₂=0．从而直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．…（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，考查等腰三角形的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．