Question

【题目】已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1 ， E 、F 分别是棱 AB 、BC上的动点 ，且AE = BF .求直线 A1E 与C1F 所成角的最小值（用反三角函数表示）.

Answer 1

【答案】

【解析】

解法 1 ：如图， 延长 DC 到点 G， 使得 CG = AE ， 联 结C1G 、FG.

由题意知，A1E ∥ C1G， A1E 到C1F 所 成 的 角 等 于∠FC1G .

令 AE = CG = x（0≤x≤1）， 则有CF =1 - x ， C1G =，

.

在△C1FG 中， 由余弦定理得

.

∠FC1G 取得最小值就是取得最大值， 亦即取得最小值.

利用等式，

得.

所以，当时，取得最小值.

因此，，即.

故 A1E 与 C1F 所成的最小角为，此时， E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点.

解法 2：前面同上， 得到.

则

.

令，得.

所以， 当时，取最小值.

以下与解法 1 同.