Question

已知函数f（x）=1-x+

x2

2

-

x3

3

+

x4

4

-…-

x99

99

，g（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x99

99

，设F（x）=f（x-1）•g（x+1）且函数F（x）的零点在区间[a，a+1]或[b，b+1]（a＜b，a，b∈Z）内，则a+b的值为（　　）

• A、-2
• B、0
• C、2
• D、4

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：求函数的导数，分别判断函数的单调性以及函数f（x）和g（x）的零点所在的区间，即可得到结论．

解答： 解：∵f（0）=1＞0，f（1）=1-1+

1

2

-

1

3

+…+

1

99

-

1

99

＞0，f（2）=1-2+

22

2

-

23

3

+…+

298

98

-

299

99

＜0，
则函数f（x）在（1，2）内存在零点，
∵f（x）=1-x+

x2

2

-

x3

3

+

x4

4

-…-

x99

99

，
∴当x∈（1，2）时，函数的导数为f′（x）=-1+x-x²+x³-…-x⁹⁸=

-(1+x99)

1+x

＜0，函数单调递减，
即在区间（1，2）函数存在唯一的零点．
∵g（0）=1＞0，g（-1）=1-1-

1

2

-

1

3

-…-

1

99

＜0，∴函数g（x）在（-1，0）内存在零点，
当x∈（-1，0）时，g′（x）=1-x+x²-x³++x⁹⁸=

1+x99

1+x

＞0，此时函数单调递增，
即在区间（-1，0）函数存在唯一的零点．
由F（x）=f（x-1）•g（x+1）=0得f（x-1）=0或g（x+1）=0，
即1＜x-1＜2或-1＜x+1＜0，
解得2＜x＜3或-2＜x＜-1，即F（x）的零点在（-2，-1）或（2，3）内，
∵函数F（x）的零点在区间[a，a+1]或[b，b+1]（a＜b，a，b∈Z）内，
∴a=-2，b=2，即a+b=0．

点评：本题主要考查函数零点的应用，以及函数单调性和导数之间的关系，利用导数研究函数的单调性以及确定两个函数零点的取值区间是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．