Question

17．已知$\frac{{{a^2}+2a+2}}{x}≤$$\frac{4}{{{x^2}-x}}+1$对于任意的x∈（1，+∞）恒成立，则（　　）

• A． a的最小值为-3
• B． a的最小值为-4
• C． a的最大值为2
• D． a的最大值为4

Answer 1

分析 $\frac{{{a^2}+2a+2}}{x}≤$$\frac{4}{{{x^2}-x}}+1$对于任意的x∈（1，+∞）恒成立，化为：a²+2a+2≤$\frac{4x}{{x}^{2}-x}$+x=f（x）的最小值．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：$\frac{{{a^2}+2a+2}}{x}≤$$\frac{4}{{{x^2}-x}}+1$对于任意的x∈（1，+∞）恒成立，
化为：a²+2a+2≤$\frac{4x}{{x}^{2}-x}$+x=f（x）的最小值．
f′（x）=$\frac{4（{x}^{2}-x）-4x（2x-1）}{（{x}^{2}-x）^{2}}$+1=$\frac{（x+1）（x-3）}{（{x}^{2}-x）^{2}}$，可得x=3时，函数f（x）取得极小值即最小值．
f（3）=5．
∴a²+2a+2≤5，化为：a²+2a-3≤0，即（a+3）（a-1）≤0，解得-3≤a≤1．
因此a的最小值为-3．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．