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给定直线动圆M与定圆外切且与直线相切.
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;
(2)设A、B是曲线C上两动点(异于坐标原点O),若求证直线AB过一定点,并求出定点的坐标.
(1)(2)

试题分析:解:(1)由已知可得:定圆的圆心为(-3,0),且M到(-3,0)的距离比它到直线的距离大1,∴M到(-3,0)的距离等于它到直线的距离,
∴动圆圆心M的轨迹为以F(-3,0)为焦点,直线为准线的抛物线,开口向左,
, ∴动圆圆心M的轨迹C的方程为:
(也可以用直接法:,然后化简即得:);
(2)方法一:经分析:OA,OB的斜率都存在,都不为0,设OA:,则OB:
联立的方程求得A(),同理可得B(),
, 即: ,
,则,∴,∴直线AB与x轴交点为定点,
其坐标为。方法二:当AB垂直x轴时,设A,则B
,∴
此时AB与x轴的交点为
当AB不垂直x轴时,设AB:,联立有:
,∴
,即:
∴AB:,此时直线AB与x轴交点为定点,其坐标为,
综上:直线AB与x轴交点为定点,其坐标为
点评:对于题目涉及到关于直线和其他曲线的交点时,一般都可以用到跟与系数的关系式:在一元二次方程中,
练习册系列答案
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