Question

（本小题12分）已知抛物线C：过点A
（1）求抛物线C 的方程；
（2）直线过定点，斜率为，当取何值时，直线与抛物线C只有一个公共点。

Answer 1

（I）；（2）当时，直线与抛物线C只有一个公共点。

试题分析：（Ⅰ）由题意设抛物线的方程为y²=2px，把A点坐标（1，-2）代入方程得P的值，由此能求出抛物线的标准方程．
（Ⅱ）由题意，直线l的方程为y=kx+2k+1，由方程组y²=4x和y=kx+2k+1联立，得ky²-4y+4（2k+1）=0，对于参数k进行分类讨论，这时直线l抛物线有一个公共点．
解：（I）将（1，-2）代入，得，
所以p=2；故所求的抛物线C的方程为
（2）由得：，
①当时，代入得，
这时直线与抛物线C相交，只有一个公共点
②当时，，时
直线与抛物线C相切，只有一个公共点
综上，当时，直线与抛物线C只有一个公共点。
点评：解决该试题的关键是利用点求解解析式，同时能结合二次方程研究方程根的问题。