Question

已知f（x）=

lnx

1+x

-lnx，f（x）在x=x₀处取最大值，以下各式正确的序号为（　　）
①f（x₀）＜x₀  ②f（x₀）=x₀  ③f（x₀）＞x₀  ④f（x₀）＜

1

9

 ⑤f（x₀）＞

1

9

．

• A、①④
• B、②⑤
• C、②④
• D、③⑤

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：由已知得f′（x）=-

x+1+lnx

(1+x)2

，令g（x）=x+1+lnx，则函数有唯一零点，即x₀，且函数的这个零点是y=lnx与y=x+1的交点，由此能求出结果．

解答： 解：∵f（x）=

lnx

1+x

-lnx，
∴f′（x）=-

x+1+lnx

(1+x)2

，
令g（x）=x+1+lnx，则函数有唯一零点，即x₀，
且函数的这个零点是y=lnx与y=x+1的交点，
∴x₀＞1，
∴-x₀-1=lnx₀
∴f（x₀）=（-x₀-1）•

1-1-x0

1+x0

=x₀，
故②⑤正确．
故选：B．

点评：本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．是中档题．