Question

15．已知函数f（x）=e^x-x．
（1）求f（x）的极小值；
（2）对?x∈（0，+∞），f（x）＞ax恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的极小值即可；
（2）问题转化为$\frac{e^x}{x}-1＞a$恒成立，令$g（x）=\frac{e^x}{x}-1，x＞0$，求出g（x）的单调区间，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围．

解答 解：（1）f'（x）=e^x-1

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	极小值1	↗

f（x）的极小值为1．
（2）当x＞0时，$\frac{e^x}{x}-1＞a$恒成立．令$g（x）=\frac{e^x}{x}-1，x＞0$，则$g'（x）=\frac{{{e^x}（{x-1}）}}{x^2}$，

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	极小值	↗

g（x）_min=g（1）=e-1，实数a的取值范围是（-∞，e-1）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．